Teorema di Fermat

Il Teorema di Fermat

Introduzione

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto di una pagina."

Sono queste le frasi che, a metà del Seicento, hanno dato inizio ad uno degli enigmi matematici più intriganti della storia delle scienze.

A pronunciarle fù un famoso matematico dell'epoca, Pierre de Fermat, in relazione a quello che da allora sarebbe stato conosciuto appunto come l'Ultimo Teorema di Fermat.

La dimostrazione del Teorema di Fermat, che, dalle parole dello studioso non stava nel margine troppo stretto, in realtà non fu mai trovata, e quella frase diede origine ad una storia meravigliosa di continui tentativi da parte di intere generazioni di matematici, alla ricerca di una soluzione capace di dimostrare quel teorema così misterioso e semplice. La storia dell'Ultimo Teorema di Fermat è un vero e proprio thriller matematico, che dopo oltre tre secoli e mezzo di continui tentativi ha forse oggi trovato una soluzione.

Ma andiamo per ordine.

Il Teorema di Fermat è rappresentato dalla seguente equazione:

Il Teorema di Fermat afferma, in sostanza, che non esistono soluzioni intere positive all'equazione se n > 2.

L'ipotesi alla base del teorema di fermat viene formulata per la prima volta da Pierre de Fermat (da cui prende il nome il teorema) nel 1637. Pierre de Fermat non fornì però una dimostrazione al teorema. Nei secoli successivi molti autori cercarono di dare una soluzione al teorema, senza successo. Uno dei motivi per cui il teorema di fermat ha avuto così tanto sucesso e ha da sempre stimolato la curiosità di molti studiosi di matematica è data in parte a questo fatto. Famosa è la sua frase che egli scrisse, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto, sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".

Questa frase di Fermat su di stimolo a tutti gli autori sucessivi nella ricerca della dimostrazione del teorema. Convinti che la dimostrazione fosse stata trovata dallo stesso Fermat e che fosse dunque possibile, in molti hanno dedicato parte della loro vita da studiosi nella ricerca della dimostrazione, che fu cercata da autorevoli studiosi quali:

• Eulero, che, nel XVIII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per n=3,
• Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso n=5,
• Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale ad un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.

 Fra le carte del matematico francese venne trovata la dimostrazione dell'impossibilità di soluzioni intere di  x^n + y^n = z^n per n = 4 e, nel Settecento, Eulero, il celebre matematico svizzero, dimostrò l'impossibilità di soluzioni intere per n = 3. Nell'Ottocento altri matematici, come Legendre e Lejeune - Dirichlet, dimostrarono autonomamente il caso n = 5. Ma la soluzione generale del problema sembrava impossibile. Con l'avvento del computer si iniziò a calcolare pedestremente le terne per valori sempre più alti di n. Negli anni Ottanta del secolo scorso si arrivò a verificare tutti i valori di n fino a 25.000 e in tempi ancora più vicini ai nostri fino a n uguale a 4 milioni. Ma la verifica al computer era inutile, senza una dimostrazione generale non si poteva essere sicuri che il teorema fosse valido per un qualsiasi n.

La soluzione del Teorema di Fermat si ebbe solo di recente, nel 1994, ad opera di Andrew Wiles.

Andrew Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione dopo ben 7 anni di studi e tentativi. Non a caso, da quel momento in poi, il teorema di Fermat viene ricordato e definito anche come il teorema di Fermat - Wiles.

Tuttavia, è bene ricordare che Fermat non possedeva, ai suoi tempi, conoscenze di matematica e di algebra equiparabili a quelle che Wiles utilizzò per dare una soluzione al teorema di fermat. Quindi, si presume che se Fermat avesse dato una dimostrazione al suo teorema, tale dimostrazione fosse diversa da quella data da Wiles. In ultimo, non è da escludere che lo stesso Fermat non avesse una soluzione al teorema e che la sua frase circa la dimostrazione fosse priva di verità.

La soluzione del teorema di Fermat che venne data da Wiles fu pubblicata nel 1995 e premiata il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfskehl, consistente in una borsa di 50.000 dollari.

IL Teorema di Fermat tradotto in italiano: ovvero, cosa vuole dire il teorema di fermat?

Il teorema di Fermat si chiede sostanzialmente se "è possibile spezzare un cubo in due cubi oppure una quarta potenza nella somma di due numeri che siano entrambi quarte potenze."

Ad esempio, 27, il cubo di 3, può essere diviso nella somma di due cubi?

E' possibile trovare terne di numeri interi che soddisfino alla relazione x^3 + y^3 = z^3 e, in generale x^n + y^n = z^n "

Questo è il Grande teorema di Fermat.

Fermat affermò che la scomposizione non è possibile né con i cubi né con qualsiasi altro numero di potenza superiore al due. Ma, come abbiamo detto all'inizio dell'articolo, la sua dimostrazione non venne mai trovata e ci sono seri dubbi che fosse davvero riuscito a dimostrarla.

Il fascino per il problema posto da Fermat è rimasto inalterato. Una storia curiosa legata al Teorema di Fermat è quella legata al ricco industriale tedesco, Paul Wolfskehl, vissuto nel novecento, che, grazie alla curiosità che gli aveva suscitato il mistero del Teorema di Fermat, riuscì a superare la depressione dedicando anima e corpo alla soluzione del famoso teorema. In questo modo, come egli stesso ebbe a dire, i fantasmi della depressione sparirono, poichè " il mio animo era totalmente rapito dal mistero del teorema di fermat.

Anche se il ricco industriale non riuscì mai a risolvere il teorema dandone una dimostrazione matematica, restò sempre affascinato sia a Fermat che al teorema che porta il suo nome, e in tal senso decise di utilizzare parte della sua richezza per istituire un premio a chiunque fosse riuscito a trovarne una efficace dimostrazione.

Il premio ebbe un effetto dirompente, poichè nell'anno in cui venne annunciato (nel 1908 ) molti studiosi si gettarono nel tentativo di dimostrare il teorema, e vi furono ben 621 domande di partecipazione.

Tuttavia bisognava aspettare ancora molti anni prima di vedere uno spiraglio di luce nell'affascinante storia che ruota intorno a questo famosissimo teorema. Infatti, soltanto nel 1995, un individuo aveva le carte in regola per reclamare il premio messo in palio anni prima dall'industriale tedesco. Finalmente, il premio fù ufficialmente consegnato ad Andrew Wiles, il matematico inglese riuscito nella storica impresa. L'Accademia delle Scienze di Gottinga, responsabile del premio e del controllo delle dimostrazioni, decretò la validità della dimostrazione del teorema di Fermat ad opera del matematico Andrew Wiles.

Tuttavia la storia non finisce li, poichè il teorema di Fermat ha oggi un nuovo aspirante che reclama una nuova soluzione al teorema.

Si tratta di un matematico russo, Aleksandr Ilin il quale annunciò di essere in grado di dimostrare questo famoso teorema. La dimostrazione fù pubblicata dal periodico moscovita "Novaya Gazeta".

Ora bisognerà ved come l'Accademia valuterà l'annuncio del matematico russo.

Il Teorema di Fermat in termini matematici: una dimostrazione del Teorema di Fermat

 Pierre de Fermat, nel 1637, partendo dalla seguente equazione:

xn+yn=zn (1)

dove x , y , z ed n devono appartenere tutti all’insieme dei numeri interi, enunciò quello che sarebbe stato conosciuto come il suo ultimo teorema.

Fermat affermò che l’equazione (1) ammette soluzioni, nell’ambito dei numeri interi, soltanto per n uguale a 2. Quindi per un qualsiasi n maggiore di 2 la (1) non è soddisfatta.
Tuttavia Fermat non diede nessuna dimostrazione dell’enunciato in quanto scrisse di non avere sufficiente spazio ai margini del libro su cui scrisse la (1).

Negli anni e quindi nei secoli successivi parecchi matematici tentarono di dimostrare la (1) con parziali risultati finchè nel 1994 A. Wiles riuscì nell’impresa ricorrendo a sofisticati concetti matematici che sicuramente Fermat non disponeva.
Ritengo pertanto che possa esistere un’altra dimostrazione del teorema di Fermat costruita con matematica più elementare e nel seguito tenterò di fornirla.

La seguente dimostrazione del teorema di Fermat procede logicamente per tre fasi secondo i valori che l’esponente n dell’equazione di Fermat può assumere.

Considero infatti tre casi possibili:
1. n dispari,
2. n pari e potenza del 2,
3. n pari ma prodotto di un numero dispari per un numero pari.

Qualsiasi n appartiene ad una delle tre categorie individuate e per ognuna di queste categorie è possibile dimostrare il teorema di Fermat.
In realtà il teorema di Fermat è stato dimostrato “classicamente” per diversi valori di n e mi pare che rimanga da dimostrare il teorema soltanto nel caso in cui n è un numero primo. Comunque la mia dimostrazione tenta di essere così generale da comprendere tutti i casi possibili.

Prima di procedere alla dimostrazione dei tre casi è necessario introdurre alcuni concetti generali e dimostrare il caso n = 2, ossia che esistono triplette di numeri interi che soddisfano la (1). La dimostrazione del caso n = 2 fornirà anche delle formule per generare tutte le triplette di numeri soddisfacenti la relazione pitagorica (1).

Poiché il caso 1 è la parte essenziale della mia dimostrazione, ritengo utile spiegare brevemente la logica su cui si basa:
1) la (1) si può scrivere anche come: zn−xn−yn= 0, ma
2) zn − xn − yn = ( z − x − y )n + P( x, y,z ) (P è un polinomio omogeneo di grado n).
Se zn−xn−yn= 0, la relazione precedente diventa:
3) ( x + y − z )n = P( x, y,z );

a questo punto, mediante un opportuno cambiamento di variabili (chiameremo le nuove variabili a, b , c ), si può dimostrare che il polinomio P è sempre esprimibile come prodotto di due fattori, uno dei quali è, a sua volta, il prodotto dei termini costituenti il trinomio mentre l’altro è un polinomio omogeneo di grado n − 3; quindi la 3) diventa:

4) P(a,b,c) = abc ⋅ Pn−3 = (a − b − c)n .

Quindi si dimostra che la 4) è impossibile e di conseguenza la 3) non è mai soddisfatta, ossia zn − xn − yn deve essere sempre diverso da 0.